6. CENNI DI OTTICA DELL'OCCHIO UMANO
L'occhio umano può essere legittimamente equiparato a un sofisticatissimo sistema ottico, del quale possiamo analizzare le prestazioni e gli eventuali difetti con i normali metodi dell'ottica geometrica. Dall'analisi della tabella 5, che raccoglie le principali costanti
ottiche dell'occhio, emerge una notevole complessità strutturale: la luce che proviene dall'ambiente penetra nella cornea (che ha indice di rifrazione n=1.377), dove subisce una prima deviazione, incide sul cristallino (n=1.437), attraversa un mezzo liquido di indice 1.336 e, infine, colpisce la superficie curva della retina, che ha un raggio di curvatura uguale a -11.7 mm.
Chi esegue osservazioni astronomiche con strumenti ottici o ad occhio nudo si sarà posto almeno una volta la seguente domanda; l'immagine di una stella che si forma sulla retina è perfettamente puntiforme oppure subisce delle deformazioni causate da difetti del nostro sistema ottico biologico?
In altre parole, il nostro sistema visivo è uno strumento affidabile e sufficientemente preciso per l'osservazione notturna dei corpi celesti?
Per una risposta soddisfacente riportiamo di seguito qualche concetto di ottica geometrica.
Esaminiamo, innanzitutto, il fenomeno della diffrazione, che sappiamo essere strettamente connesso alla natura ondulatoria della luce. Possiamo notare, infatti, che in alcuni casi la luce s'incurva intorno ad ostacoli opachi di modo che le ombre hanno sempre contorni leggermente confusi e sfumati. Molto spesso questo fenomeno non risulta evidente perché le dimensioni degli ostacoli che la luce incontra sono grandi rispetto alla sua lunghezza d'onda.
Un altro esempio di diffrazione è dato dall'osservazione delle strisce di luce che possiamo vedere quando guardiamo una sorgente di luce forte e concentrata. Supponiamo ora di osservare un punto luminoso con un telescopio.
I raggi luminosi (fig. 14), dopo aver attraversato l'obbiettivo, giungono nel piano focale un po' fuori dall'asse dopo aver percorso cammini differenti: l'immagine osservata del punto si compone di un disco brillante circondato da anelli alternativamente scuri e luminosi (macchia di diffrazione provocata da una apertura circolare uniformemente illuminata). Circa 1'86% della luce è concentrato nel disco luminoso centrale. Ponendo l'intensità luminosa del centro della macchia di diffrazione I0 = 1, la distribuzione della luminosità I è data dalla relazione:
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inoltre: l, lunghezza d'onda della luce; D, diametro della lente; a, posizione angolare del punto in esame sulla macchia di diffrazione.
Con la formula 8 disegniamo il grafico in fig. 15, che mostra in dettaglio i massimi e minimi della macchia di diffrazione. Il diametro ds del primo anello scuro si trova con la formula: ds = 2.44 l f/D; dove f è la focale dell'obbiettivo e l = 555 nm.
Dalla formula si evince che il dischetto luminoso centrale è tanto più piccolo quanto maggiore è il diametro dell'obbiettivo.
Dividendo per due il valore di ds otteniamo il potere risolutivo dell'obbiettivo. Ciò equivale a dire che il potere risolutivo è pari al raggio del primo anello oscuro della macchia di diffrazione. Il potere risolutivo Pr ( per l = 555 nm), espresso in secondi d'arco, si ottiene dalla:
Pr = 120"/D
con D in mm.
Un'espressione del diametro del primo anello scuro della macchia di diffrazione visuale può anche essere la seguente:
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(formula 10) |
nella quale n è l'indice di rifrazione del mezzo e h il semidiametro dell'obbiettivo. Come si vedrà in seguito, la formula 10 assume un'importanza particolare nella nostra analisi sulle prestazioni ottiche dell'occhio.
Introduciamo ora il concetto di aberrazione d'onda e di aberrazione sferica di un sistema ottico. Per prima cosa consideriamo un treno di onde luminose piane T provenienti da una stella ed incidente su di una lente convergente in vetro(fig. 16): vedremo che esso emergerà dalla lente sotto forma di onde sferiche T1 il cui il centro di curvatura è nel fuoco.
Se la lente ha errori di forma, l'onda in uscita T2, teoricamente sferica, si presenterà deformata, e lo scostamento di T2 da T1 prenderà il nome di irregolarità dell'onda. Se le superfici della lente sono generate da un solido di rivoluzione otticamente perfetto ed omogeneo, e l'onda emergente presenterà ancora degli scostamenti geometrici dovuti a
differenze di propagazione dell'onda che concorre alla formazione dell'immagine della stella, diremo che la lente è affetta da aberrazione d'onda.
Un sistema "otticamente perfetto" avrà un'aberrazione d'onda uguale o inferiore a l/(4n)
dove l è la lunghezza d'onda della luce e n l'indice di rifrazione del mezzo (n = 1 quando la lente è immersa in aria).
Questo criterio fondamentale dell'ottica è detto limite di Rayleigh o criterio del quarto d'onda. Per l'occhio, che ha la massima sensibilità a l = 555 nm e n = 1.336 (indice di rifrazione del corpo vitreo, vedi tabella 5), il limite di Rayleigh è 555/(4x1.336) = 104 nm.
L'ottica geometrica mostra che i raggi paralleli all'asse ottico che incidono in prossimità dell'asse (raggi parassiali) si focalizzano nel punto Fp (fig. 17), mentre i raggi marginali si focalizzano in Fm. Pertanto l'immagine di una stella non sarà puntiforme, bensì una figura
geometrica solida, simmetrica rispetto all'asse ottico, chiamata caustica.
Il punto Fp prende il nome di fuoco parassiale, mentre l'estremo punto di convergenza dei raggi marginali Fm si dice fuoco marginale.
La distanza tra i due fuochi Fp e Fm è 1'aberrazione sferica assiale.
Quando una lente è affetta da aberrazione sferica, l'immagine di una stella, in qualsiasi punto della caustica, sarà sempre un dischetto luminoso di diametro e luminosità variabili.
Nella posizione A-A', chiamata strozzatura della caustica, il diametro del dischetto sarà minimo: questo piano individuerà il piano di miglior fuoco.
Il diametro Dmf della sezione della caustica nella posizione di miglior fuoco è dato dall'espressione:
Dmf = 1867 Ds(hm/f) (formula 10a)
dove: Ds, è l'aberrazione sferica relativa al semidiametro hm (in mm) della lente ed f la focale della lente in mm. Descriviamo ora un metodo per calcolare l'aberrazione sferica Ds. Essa è data dalla differenza:
Ds= fp -fm (formula 11)
dove fp, è il fuoco parassiale e fm quello marginale.
Le posizioni di fp e di fm si possono ottenere con la tecnica del tracciamento dei raggi.
supponiamo di avere una lente di vetro (fig. 18) con indice di rifrazione n', immersa in aria (n = 1) . I raggi di curvatura delle due superfici della lente siano Rl e R2; il percorso del raggio parassiale sarà descritto con l'ausilio del seguente formulario:
La lunghezza focale del sistema si calcola con:
Infine troviamo i rapporti di incidenza dei raggi sulle diverse superfici ottiche, con le seguenti espressioni:
L'indice i (i = 1,2,3,...,k) indica che il tracciamento del raggio parassiale (come del resto anche per il raggio marginale) si può eseguire su di un numero i di superfici ottiche, e k è il coefficiente relativo all'ultima superficie. Per semplicità, in fig. 18 sono indicate solamente le due superfici di una singola lente.
Nel tracciamento di un raggio marginale, per evitare confusione con il caso parassiale, cambieremo i seguenti simboli: S in W, S' in W', e la focale fp in fm.
Inoltre introduciamo gli angoli e, e' che sono rispettivamente l'angolo che il raggio incidente fa con la normale alla superficie i-esima nel punto di incidenza, e l'angolo che il raggio rifratto fa con la normale alla superficie i-esima nel punto da cui esso emerge.
E' utile notare che la formula 11 può essere riscritta nel modo seguente:
Ds= fp -fm = S'k - W'k
Il calcolo marginale richiede due formulari diversi, impiegati nei seguenti due possibili casi:
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Per passare ad una superficie successiva si tengano presenti le relazioni:
Wi+1= W'i - di
ui+1 = u'i
ni+1 = n'i
Quando Wi = infinito e la prima superficie è preceduta da un diaframma che lascia libero la zona h1, calcoliamo per essa la relativa lunghezza focale F:
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Prendiamo ora in esame l'occhio umano e cerchiamo di ricavare alcune sue proprietà notevoli con l'ausilio delle nozioni ottiche appena descritte. In figura 19 è schematicamente illustrato l'occhio umano medio (si veda anche la tabella 5) con i raggi di curvatura dei componenti.
Determiniamo, riportando in dettaglio tutti i passaggi numerici, l'aberrazione sferica dell'occhio per l'apertura della pupilla di 3 mm, pari al valore medio di dilatazione in condizione di illuminazione diurna normale (visione fotopica). Il primo calcolo che eseguiremo è quello parassiale, che ci permetterà di trovare o valori della focale parassiale fp e della distanza S'k.
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Il diametro della caustica che caratterizza il circolo di minima confusione visuale nella posizione di miglior fuoco dell'occhio, riferito alle diverse semi-aperture h che può assumere la pupilla, sarà dato allora dalla formula 10a, che riscriviamo con le nuove notazioni:
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(formula 10b) |
Dove fp è il fuoco parassiale.
Questa formula è valida fino a quando il diametro Dmf della caustica è minore o uguale al disco di confusione introdotto dalla diffrazione, che possiamo calcolare con la formula 10, nella quale poniamo l = 0.000555 mm e n = n'4= 1.336 (indice di rifrazione del corpo vitreo) per cui avremo:
fv = 0.000355fp/h (formula 12)
Tracciamo ora il grafico di figura 20 che riunisce entrambe le curve della caustica dell'occhio (formula 10b) e della macchia di diffrazione (formula 12) alle diverse aperture della pupilla. Dall'analisi della figura vediamo emergere un fatto di estrema importanza: le due curve si intersecano nel punto in cui la pupilla ha diametro di circa 3 mm.
In tale punto i diametri delle macchie di confusione dell'aberrazione sferica e di diffrazione si sovrappongono perfettamente e, in un certo senso, si compensano.
Per valori diversi della pupilla vediamo che le dimensioni dei dischi di confusione della diffrazione e della caustica hanno un andamento opposto: al crescere della caustica diminuisce la diffrazione e viceversa.
La prima proprietà ottica dell'occhio evidenziata dai nostri calcoli è dunque la seguente: i costituenti ottici dell'occhio umano sono funzionalmente dimensionati per raggiungere le migliori prestazioni nella visione fotopica media, quando cioè la pupilla ha circa 3 mm di diametro e il livello di illuminamento dell'ambiente è dell'ordine dei 2000-3000 lux.
In queste condizioni il sistema visivo umano ha la sua massima acutezza.
Quando il diametro della pupilla è maggiore di 3 mm, l'aberrazione sferica dell'occhio cresce smisuratamente; ne consegue che durante la visione scotopica (come nel caso dell'osservazione astronomica stellare), per la quale la dilatazione della pupilla è di circa 8 mm, l'acutezza visiva sarà fortemente ridotta.
La fig. 21 ci mostra i valori dell'apertura della pupilla in funzione dell'illuminamento ambientale. I dati riportati in figura sono stati ottenuti con test di laboratorio eseguiti su diversi soggetti umani.
Si può notare come il diametro medio della pupilla sia compreso tra 3 e 8 mm. In certi soggetti il diametro minimo raggiunge i 2 mm per illuminamenti intorno ai 30 000 lux, mentre quello massimo sfiora i 9 mm.
Cerchiamo ora di determinare se l'occhio raggiunge, per una qualche apertura della pupilla, il limite di Rayleigh. In altre parole, vogliamo rispondere alla domanda formulata all'inizio di questo paragrafo, dove ci si poneva l'interrogativo se l'occhio possa essere considerato "perfetto" dal punto di vista dell'aberrazione sferica.
Abbiamo già detto che per l'occhio umano medio, illustrato in Tabella 5, il limite di Rayleigh Lr è dato dalla formula:
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Poniamoci l'obiettivo di confrontare il limite di Rayleigh dell'occhio con la sua aberrazione d'onda marginale: se saremo in grado di trovare una serie di aperture della pupilla per le quali l'aberrazione è minore o uguale al criterio del quarto d'onda l'occhio potrà ritenersi, per esse, perfettamente corretto.
Una formula semiempirica per il calcolo dell'aberrazione d'onda è la seguente:
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(formula 17) |
dove fm è il fuoco marginale dell'occhio (fm = 15.43 mm), h il semidiametro della pupilla, mentre l'aberrazione sferica Dsg si calcola con la formula 11 .
Se mettiamo in grafico i valori dell'aberrazione e il limite di Rayleigh, (fig. 22) vediamo che per aperture della pupilla inferiori ai 3 mm circa il criterio del quarto d'onda è rispettato. Il risultato dei calcoli è veramente notevole e si sposa perfettamente con quanto detto a proposito dell'acutezza visiva.
Inoltre, sulla base di considerazioni ottiche che qui tralasciamo per semplicità, possiamo dire che il criterio del quarto d'onda può anche essere raddoppiato senza che per questo si noti un reale peggioramento del potere risolutivo dell'occhio.
La zona per la quale il potere risolutivo è praticamente costante è definita come la zona del potere risolutivo stazionario che si colloca nell'intervallo dei diametri pupillari
compresi tra 3 e 4 mm.
Potremmo anche formulare una duplice definizione di potere risolutivo che applichiamo alla nostra analisi dell'occhio. La prima è la risoluzione bistigmatica, ovvero la capacità di separare due punti luminosi vicini.
Essa coincide con il potere risolutivo comunemente accettato in ottica.
L'altra definizione, più complessa, è la risoluzione polistigmatica, che prende il nome dalla capacità dell'occhio di separare molti punti luminosi distribuiti regolarmente su di una superficie. E' questo secondo tipo di risoluzione che dovrebbe essere generalmente accettata in quanto, a differenza della bistigmatica (che spesso è condizionata da fattori psicologici che inducono a veder separate due stelle anche quando le loro macchie di diffrazione sono ancora parzialmente sovrapposte) essa è certamente più oggettiva.
Sulla base di esperienze eseguite nei primi decenni del secolo scorso (Danjon, 1928), si è potuto stabilire che l'occhio umano ha potere risolutivo bistigmatico doppio del potere risolutivo polistigmatico. Di solito si afferma categoricamente che il potere risolutivo dell'occhio è di circa 60" senza però specificare che questo limite di risoluzione è
valido esclusivamente per la visione fotopica, precisamente con una pupilla di diametro compreso tra 3 e 4 mm diametro (esattamente, ma non casualmente, nella zona di potere risolutivo stazionario). Invece, in condizioni di visione scotopica il potere risolutivo
bistigmatico è molto minore, aggirandosi intorno ai 5'. Di conseguenza la risoluzione polistigmatica si aggirerà intorno ai 10'.
Una formula empirica (illustrata nel grafico di figura 23) che approssima bene il potere risolutivo polistigmatico e" dell'occhio umano è la seguente:
e"p = (76/D) e0.38D (formula 18)
dove e" è in secondi d'arco; D, il diametro della pupilla in mm; e = 2.71828.
Naturalmente la risoluzione bistigmatica sarà:
e"b = (38/D) e0.38D (formula 19)
Una conseguenza interessante delle formule 18 e 19 si ha ponendo D = 3 mm:
(e"p +e"b )/2 = (79"+40")/2 = 60"
In altre parole, la semisomma delle dure risoluzioni per la pupilla di 3 mm è esattamente uguale al potere risolutivo comunemente accettato per l'occhio.